Ta có: \(4!>4.3\) ; \(5!>5.4\) ;....; \(n!>n\left(n-1\right)\)

\(\Rightarrow VT=\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+...+\frac{1}{n!}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{n\left(n-1\right)}\)

\(VT< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(VT< 2-\frac{1}{n}< 2\) (đpcm)

Đặt vế trái bằng S n . Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có  với k ≥ 1.

Ta phải chứng minh 

Thật vậy 

Với n = 1 thì 2 1   +   2   =   8   >   7   =   2 . 1   +   5

Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1 tức là 2k + 2 > 2k + 5 (1)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với n = k + 1,

tức là 2k + 3 > 2(k + 1) + 5 hay 2k + 3 > 2k + 7(2)

Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2, ta được

2k + 3 > 4k + 10 = 2k + 7 + 2k + 3

Vì 2k + 3 > 0 nên 2k + 3 > 2k + 7(đpcm)

Ta có:

Sửa đề \(A=3\left(2x-5xy\right)+\left(3x-y\right)\left(-2x\right)-\dfrac{1}{2}\left(2-26xy\right)\)

\(A=6x-15xy-6x+2xy-1+13xy\)

\(A=-1\)

Vậy biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x

\(\frac{1}{2\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}}< \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)

=> \(\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)(1)

\(\frac{1}{2\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+1-n}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)=> \(\frac{1}{2\sqrt{n}}>\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \sqrt{n+1}-\sqrt{n}< \frac{1}{2\sqrt{n}}\)